%% Thierry Zwissig - 28 décembre 2016
%% Collčge Sismondi - Genčve
%% 2019.02.06


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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\Large
\begin{center}
\textsc{Dˇrivˇe d'un quotient de fonctions}
\end{center}
\small
\textbf{Note :} Ce rˇsumˇ est ˇcrit par T. Zwissig. Il est ce qu'attend cet enseignant lors de l'oral de maturitˇ. Ce rˇsumˇ n'est pas une rˇfˇrence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute diffˇrentes.
\normalsize

\vspace{0.5 cm}


\begin{tabular}{ll}
\textbf{\textcolor{blue}{Th\'eor\`eme}} &\textcolor{blue}{Quotient de fonctions d\'erivables}\\
&\\
&\noindent Soit $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies sur un intervalle $I$.\\
&\begin{tabular}{p{0.5cm}ll}
&&\\
&\textsc{Si} &$f$ et $g$ sont d\'erivables sur $I$ et si $g$ n'est jamais nulle sur $I$\\
&&\\
&\textsc{Alors} & 1\textdegree) la fonction $\frac{f}{g}$ est d\'erivable  sur $I$,\\
                     & & 2\textdegree) $\left( \frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$ pour tout $x\in I$.
\end{tabular}
\end{tabular}

\paragraph{\textcolor{blue}{D\'emonstration} :} On remarque que $\frac{f}{g}=f\cdot\frac{1}{g}$.\\ 
Comme $g$ n'est pas nulle sur $I$ et comme elle est d\'erivable alors la fonction $\frac{1}{g}$ est d\'erivable et la formule de la d\'eriv\'ee de l'inverse s'applique: $\left(\frac{1}{g}\right)'(x)=-\frac{g'(x)}{g^2(x)}$. \\

\noindent D'autre part comme le produit de fonctions d\'erivables est d\'erivable 
et que $f$ est d\'erivable il suit que la fonction $\frac{f}{g}$ est d\'erivable sur $I$.\\ 

\begin{tabular}{llcl}
De plus & $\left(\frac{f}{g}\right)'(x)$&$=$&$\left(f\cdot\frac{1}{g}\right)'(x)$\\
&&&\\
&&$\overset{(1)}{=}$&$f'(x)\frac{1}{g}(x)+f(x)\left(\frac{1}{g}\right)'(x)$\\
&&&\\
&&$\overset{(2)}{=}$&$f'(x)\frac{1}{g(x)}-f(x)\left(\frac{g'(x)}{g^2(x)}\right)$\\
&&&\\
&&$\overset{(3)}{=}$&$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ pour tout $x\in I$.\\
&&&\\
\end{tabular}


\noindent L'\'egalit\'e (1) est l'application de la formule donnant la d\'eriv\'ee d'un produit de fonctions d\'erivables.\\
L'\'egalit\'e (2) d\'ecoule de la formule de l'inverse rappel\'ee ci-dessus et de la d\'efinition de l'inverse d'une fonction : $\left(\frac{1}{g}\right )(x)=\frac{1}{g(x)}$.\\
L'\'egalit\'e (3) d\'ecoule d'une manipulation alg\'ebrique \'el\'ementaire.
$\square$










\end{document}