%% Thierry Zwissig - 28 décembre 2016
%% Collège Sismondi - Genève
%% 2019.02.06

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\Large
\begin{center}
\textsc{D\'eriv\'ee d'un produit de fonctions d\'erivables}\\
\end{center}
\small
\textbf{Note :} Ce r\'esum\'e est \'ecrit par T. Zwissig. Il est ce qu'attend cet enseignant lors de l'oral de maturit\'e. Ce r\'esum\'e n'est pas une r\'ef\'erence pour les autres enseignants, leurs attentes sont certainement diff\'erentes.
\normalsize
\vspace{0.5 cm}

\begin{tabular}{ll}
\textbf{\textcolor{blue}{Th\'eor\`eme}} &\textcolor{blue}{Produit de fonctions d\'erivables}\\
&\\
&\noindent Soit $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies sur un intervalle $I$.\\
&\begin{tabular}{p{0.5cm}ll}
&&\\
&\textsc{Si} &$f$ et $g$ sont d\'erivables sur $I$\\
&&\\
&\textsc{Alors} & 1\textdegree) la fonction $fg$ est d\'erivable  sur $I$,\\
                     & & 2\textdegree) $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ pour tout $x\in I$.
\end{tabular}
\end{tabular}


\paragraph{\textcolor{blue}{D\'emonstration} : }
Soit $a\in I$. \\


\small
\begin{tabular}{llll}
$\underset{x\rightarrow a}{\lim}\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a} $
& $=$ & 
$\underset{x\rightarrow a}{\lim}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}$
& par d\'efinition du produit\\
&&& de fonctions\\
&&&\\
& $=$ & 
$\underset{x\rightarrow a}{\lim}\frac{f(x)g(x)\textcolor{blue}{-f(a)g(x)+f(a)g(x)}-f(a)g(a)}{x-a}$
& car $-f(a)g(x)+f(a)g(x)=0$\\
&&&\\
& $=$ & 
$\underset{x\rightarrow a}{\lim}\left[\left(\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)}\right )g(x)+f(a)\left(\frac{g(x)-g(a)}{(x-a)}\right )\right ]$
&par r\' earrangement des termes.\\
%&&& des termes.\\
&&&\\
\multicolumn{4}{l}{Par hypoth\`ese, $f$ est d\' erivable en $a$, donc $\underset{x\rightarrow a}{\lim}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)$ est un nombre, c'est le nombre d\'eriv\'e $f'(a)$.}\\
&&&\\
\multicolumn{4}{l}{Par hypoth\`ese, $g$ est d\' erivable en $a$, donc $\underset{x\rightarrow a}{\lim}\left(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)$ est un nombre, c'est le nombre d\'eriv\'e $g'(a)$.}\\

&&&\\
\multicolumn{4}{l}{Puisque $g$ est d\'erivable en $a$, elle est continue en $a$ et donc $\underset{x\rightarrow a}{\lim}g(x)=g(a)\in \mathbb{R}$.}\\
&&&\\
\multicolumn{4}{l}{Puisque $f$ est d\'erivable en $a$, en particulier le nombre $f(a)$ existe et donc $\underset{x\rightarrow a}{\lim}f(a)=f(a)$.}\\
&&&\\
\multicolumn{4}{l}{On peut donc d\'ecomposer la limite ci-dessus ainsi:}\\
&&&\\
& $=$ & 
\multicolumn{2}{l}{$\underset{x\rightarrow a}{\lim}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right )\underset{x\rightarrow a}{\lim}g(x)+\underset{x\rightarrow a}{\lim}f(a)\underset{x\rightarrow a}{\lim}\left(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right )$}\\
&&&\\
& $=$ & 
$f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ & qui est un nombre donc\\
&&&\\
&$=$&
$(fg)'(a)$& le nombre d\' eriv\' e existe.\\
&&&\\
\end{tabular}
Il suit de la derni\`ere \'egalit\'e, $f'(a)g(a)+f(a)g'(a)=(fg)'(a)$, que la fonction $fg$ est d\'erivable en $a$ et que la formule propos\'ee en deuxi\`eme conclusion est vraie pour $a$. De plus, les calculs ci-dessus sont ind\'ependants du choix de $a$. Ils sont valables pour tout $a\in I$. On conclut que $fg$ est d\'erivable sur $I$ et que $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ pour tout $x\in I$. $\square$ 

\end{document}