Imprimer tout le livreImprimer tout le livre

Différents arrangements

Site: Plate-forme d'apprentissage
Cours: Introduction à la combinatoire
Livre: Différents arrangements
Imprimé par: Visiteur anonyme
Date: dimanche 8 novembre 2026, 23:37

Description

Comme pour les permutations, il y a deux sortes d’arrangements, les arrangements sans répétition et les arrangements avec répétition. Le chapitre suivant sera dévolu aux arrangements sans répétition et le dernier traitera des répétitions avec répétition. C’est ce dernier cas qui sera le plus accessible cette fois !

Table des matières

1. Introduction

Les arrangements constituent la partie de la combinatoire qui consiste à choisir un certain nombre d’objet dans une collection puis de les ordonner. Dans le cas des arrangements sans répétition le nombre d’objets choisis est inférieur ou égal au nombre d’objets à disposition. Quand il est égal à ce dernier, on a affaire aux permutations ! Quand on considère les arrangements avec répétition, le nombre d’objets choisis peut être plus important que le nombre d’objets à disposition puisque l’on peut prendre plusieurs fois le même !

Exemple d’arrangements :

    • Sans répétition 
      • Sur les huit tableaux que je possède, j’aimerais en exposer trois à trois endroits différents. De combien de façons différentes puis-je m’y prendre ?
      • Combien de comités constitués d’un président, un secrétaire et un trésorier peut-on constituer avec un groupe de 10 personnes (on ne peut pas cumuler les rôles) ?
    • Avec répétition 
      • De combien de façons différentes peut-on colorier cinq cases à l’aide de trois couleurs ?
      • Combien de « mots » de cinq lettres peut-on écrire avec l’alphabet français ?
      • Combien de plaques minéralogiques de 2 lettres suivies de 3 chiffres peut-on créer ?


    2. Arrangements sans répétition

    Nous sommes dans le cas où il faut ordonner un certains nombres d’objets, disons m, pris parmi n objets.

    Commençons par un cas simple : on a cinq objets parmi lesquels j’aimerais en choisir un seul. J’ai alors cinq possibilités. Si je veux en choisir deux, j’ai alors cinq possibilités pour le premier, puis seulement quatre pour le second, donc 5\cdot 4= 20. Si je veux en ordonner trois, j’aurai le même calcul avec un troisième choix, c’est-à-dire 5\cdot 4\cdot 3= 60.

    On peut constater que ces calculs correspondent aux formules suivantes :

    1. Un choix : \frac{5!}{4!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5, c’est-à-dire \frac{5!}{(5-1)!}
    2. Deux choix : \frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=20, c’est-à-dire \frac{5!}{(5-2)!}
    3. Trois choix : \frac{5!}{2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1}=60, c’est-à-dire \frac{5!}{(5-3)!}

    De manière générale, on peut se convaincre qu’on aura n! au numérateur et (n-m)! au dénominateur, ce qui nous donne la formule :

    Les arrangements sans répétition de m objets parmi n, noté A_{m}^{n}=\frac{n!}{(n-m)!}

    3. Arrangements avec répétition

    Cette partie est beaucoup plus facile à comprendre que la précédente, puisque nous avons à disposition n objets que l’on peut utiliser autant de fois que l’on souhaite. Si on a m place à remplir, pour chacune d’entre elles on aura n possibilités, c’est-à-dire les n objets à disposition. 

    La formule est cette fois :  \overline{A}_{m}^{n}=n \cdot n \cdot \ldots \cdot n=n^m