Différentes combinaisons

Les combinaisons sans répétition sont le résultat du nombre de tirages possibles de m objets parmi les n que nous avons à disposition. 

Si nous considérons dans un premier temps la situation déjà retenue pour les arrangements de cinq objets parmi lesquels nous souhaitons en choisir trois. Si on tient compte de l’ordre, on obtient donc $\frac{5!}{(5-3)!}=60$ cas. Ce qui est intéressant ici, c’est que L’on peut regrouper ces 60 cas en fonction des objets qu’ils contiennent puisque l’on ne tient pas compte de l’ordre. Il y en a donc chaque fois $3!=6$ identiques que l’on peut regrouper. Ainsi le nombre de combinaisons de trois objets parmi cinq se calcule grâce à cette belle formule : $\frac{5!}{(5-3)!}/3!=\frac{5!}{(5-3)!\cdot 3!}$

On peut donc généraliser en donnant tout de suite la formule : le nombre de combinaisons de m objets parmi n se trouve en calculant $\binom{n}{m}=\frac{n!}{(n-m)!\cdot m!}$.

Ce cas est de loin le plus difficile à comprendre !

Imaginons que nous avons des billes de trois couleurs à disposition et que nous voulons dix billes. De combien de façons différentes peut-on les avoirs ?

Pour fixer les idées disons que nous avons trois couleurs : bleu, vert et rouge. 

Nous pourrions avoir 10 bleues ou 8 bleues et deux rouges ou une verte et 9 rouges ou 3 bleues, 5 rouges et deux vertes ...

Pour calculer ce nombre, il faut imaginer que vous avez les dix billes les unes à côté des autres et que vous peignez les premières en bleu, puis d’autres en vert et les dernières en rouges. En décrivant la situation à l’aide d’un bâton pour marquer les séparations entre les billes de différentes couleurs, les cas décrits dans le paragraphe précédent correspondraient aux situations : BBBBBBBBBBII , BBBBBBBBIIRR , IVIRRRRRRRRR , BBBIVVIRRRRR. 

On voit dans cette transcription des situations, que si l’on met toujours les couleurs dans le même ordre, on obtient l’écriture encore plus simple : BBBBBBBBBBII , BBBBBBBBIIBB , IBIBBBBBBBBB , BBBIBBIBBBBB.

Seule reste la position des deux bâtons-séparation qui est importante et on obtient le nombre de possibilités en comptant le nombre possible d’emplacements de ces deux bâtons : $\binom{12}{2}$ car il y a toujours 12 objets ( les places des dix boules et des deux bâtons-séparations) parmi lesquels on choisit deux places pour les deux bâtons-séparations.

La formule générale est donnée par la formule suivante : 

Parmi les n objets à disposition que l’on peut prendre chacun autant de fois que l’on veut si on veut choisir m objets, on a la formule : $\binom{n+m-1}{n-1}$.