Différents arrangements

Nous sommes dans le cas où il faut ordonner un certains nombres d’objets, disons m, pris parmi n objets.

Commençons par un cas simple : on a cinq objets parmi lesquels j’aimerais en choisir un seul. J’ai alors cinq possibilités. Si je veux en choisir deux, j’ai alors cinq possibilités pour le premier, puis seulement quatre pour le second, donc $5\cdot 4= 20$. Si je veux en ordonner trois, j’aurai le même calcul avec un troisième choix, c’est-à-dire $5\cdot 4\cdot 3= 60$.

On peut constater que ces calculs correspondent aux formules suivantes :

1. Un choix : $\frac{5!}{4!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5$, c’est-à-dire $\frac{5!}{(5-1)!}$
2. Deux choix : $\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=20$, c’est-à-dire $\frac{5!}{(5-2)!}$
3. Trois choix : $\frac{5!}{2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1}=60$, c’est-à-dire $\frac{5!}{(5-3)!}$

De manière générale, on peut se convaincre qu’on aura $n!$ au numérateur et $(n-m)!$ au dénominateur, ce qui nous donne la formule :

Les arrangements sans répétition de m objets parmi n, noté $A_{m}^{n}=\frac{n!}{(n-m)!}$